Manual ALGA — matrizes, equações matriciais e determinantes

Como usar este manual

Isto é um manual de consulta, não é para ler de uma vez. O treino a sério faz-se no caderno de papel; aqui lê-se, confere-se e fazem-se autotestes.

• Ordem sugerida: 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6. A 7 (oficina) usa-se em paralelo, quando quiseres treinar; a 8 é o autoteste geral; a 9 (determinantes) é para a matéria nova da ficha (ex. 21–44).
• Cada secção é uma página deste manual: anda-se com as abas da barra de cima (ou com o ◀ / ▶ no fim de cada secção). O endereço guarda a secção aberta (manual_alga.html#s5), por isso os links das notas continuam a funcionar.
• Em cada secção: receita → exemplo → ⚠️ erros a evitar → autoteste (a pergunta está à vista; clica em «Ver resposta»).
• 🔎 procurar (barra de cima): procura em todo o manual — perguntas, receitas e caixas de aviso — e salta para o sítio exato (Enter abre o 1.º resultado).
• 🙈 respostas fechadas: fecha tudo de uma vez (modo treino, sem tentações); 👁 abrir todas / ⌄ fechar todas fazem-no à secção aberta.
• ✅ já treinei esta secção: marca o progresso (fica guardado no browser, só neste computador) e aparece um ✓ na aba respetiva.
• Na oficina (7): faz no papel primeiro; a solução abre em «Ver solução passo a passo». Os exercícios 🎯 são da FICHA1 (que também tem as soluções, entre parênteses).

Índice — clica numa secção para abrir

Ficheiros da pasta: Slides PDF · FICHA1 PDF (nova, 1–44) · Tarefa 1 PDF · Visualizador de multiplicação · ESTUDO.md (plano)

1) Conceitos base (o essencial)

Tipo de uma matriz

Uma matriz é uma tabela de números. O tipo escreve-se m×n:

• m = número de linhas (vem sempre primeiro);
• n = número de colunas.

A entrada na posição (i, j) está na linha i e na coluna j. Na matriz acima, a entrada (2, 1) é 4.

Nota de notação: aqui usamos sempre o formato normal (linhas e colunas, entre parênteses retos grandes). Nas mensagens do chat pode aparecer a forma compacta [[1, 5], [5, 7]] — é a mesma coisa: cada par […] é uma linha.

Igualdade de matrizes

A = B quando as duas matrizes têm o mesmo tipo e todas as entradas homólogas iguais (mesma posição, mesmo valor). Isto vai ser usado na secção 3.

Os tipos de matrizes (os nomes que a professora usa)

• linha — uma só linha (1×n); coluna — uma só coluna (m×1);
• quadrada — mesmo número de linhas e colunas (n×n); as entradas a₁₁…aₙₙ formam a diagonal principal;
• triangular superior — zeros abaixo da diagonal principal; triangular inferior — zeros acima;
• diagonal — zeros fora da diagonal; escalar — diagonal com todas as entradas iguais; identidade Iₙ — diagonal toda a 1s (o caso que mais usamos);
• nula 0ₘₓₙ — todas as entradas são 0.

Os três objetos que confundia — em 30 segundos cada

a) Matriz identidade Iₙ — quadrada, com 1 na diagonal principal e 0 em todo o resto:

1  0  0
0  1  0
0  0  1

b) Traço tr(A) — só para matrizes quadradas: é a soma da diagonal principal.

1  2
3  4

tr(A) = 1 + 4 = 5.

• tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
• tr(αA) = α·tr(A)
• tr(AB) = tr(BA)
• tr(Aᵀ) = tr(A)

c) Transposta Aᵀ — trocam-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Se A é m×n, então Aᵀ é n×m.

1  2
3  4

1  3
2  4

• (Aᵀ)ᵀ = A
• (A ± B)ᵀ = Aᵀ ± Bᵀ
• (αA)ᵀ = α·Aᵀ
• ⚠️ (AB)ᵀ = BᵀAᵀ — troca a ordem!

Uma matriz quadrada diz-se simétrica se A = Aᵀ (entradas "espelhadas" iguais) e antissimétrica se A = −Aᵀ (a diagonal fica toda a zeros):

1  5
5  7

 0  −1  −2
 1   0  −3
 2   3   0

1  2  3
4  5  6
7  8  9

2  1
1  3

Nos slides: 2–9 (conceitos), 21 (propriedades da transposta). Treino: FICHA1 ex. 1, 6 e 8; Tarefa 1 (parte das expressões com transposta).

2) Operações: soma, escalar e produto

Soma e subtração

Só entre matrizes do mesmo tipo; soma-se entrada a entrada.

2  −1
0   3

1   1
4  −2

3   0
4   1

Matrizes de tipos diferentes não se podem somar nem subtrair.

Produto por um escalar

αA multiplica todas as entradas por α. Exemplo com α = −2:

2  −1
0   3

−4   2
 0  −6

Produto de matrizes (linha × coluna)

Exemplo com as matrizes A e B:

 1  −1
 2   3

2  0
1  4

 1  −4
 7  12

 2  −2
 9  11

Outras propriedades úteis:

• (AB)C = A(BC) (associatividade) e A(B + C) = AB + AC;
• A·Iₙ = A e Iₙ·A = A (a identidade não muda nada);
• Potências (só fazem sentido em matrizes quadradas): A² = A·A, A³ = A·A·A, …
• Propriedades das potências (slide 20): Aᵏ·Aˡ = Aᵏ⁺ˡ; (Aᵏ)ˡ = Aᵏˡ; e (AB)ᵏ = Aᵏ·Bᵏ só se A e B forem permutáveis.

Multiplicar com letras — a receita que faltava

Não há nada de novo: é exatamente a mesma regra linha × coluna. As letras comportam-se como números que não conhecemos; o que não se pode é "somar letras diferentes" — a + b fica a + b.

Exemplo com as matrizes M e F:

a  2
1  b

1  0
3  c

a+6   2c
1+3b  bc

Repara: a·0 = 0 e esse 0 desaparece na soma; 2·c = 2c fica assim mesmo.

💡 É a mesma conta do visualizador: lá vês os passos com números, um a um; aqui, com letras, o resultado fica "por simplificar".

0  1
1  0

0  1
1  0

1  0
0  1

2  0
1  3

1  1
0  2

1  2
3  4

5
6

17
39

Nos slides: 10–21. Treino: FICHA1 ex. 2, 3 e 4 (com números) e ex. 5.1 e 5.2 (com incógnitas). No visualizador: modo «Visualizador» e depois «Praticar».

3) De igualdade de matrizes para equações (o método do ex. 11)

Se duas matrizes são iguais, então entrada a entrada são iguais. Isso transforma uma igualdade de matrizes num sistema de equações.

Exemplo guiado (foi o ex. 11): a matriz A é

1  1  0
3  1  1
2  1  1

a
1
b

Como A·A⁻¹ = I₃, calculamos as três entradas da coluna 3 do produto (linha de A · coluna 3 de A⁻¹):

Resolução: da 1.ª equação vem a = −1. Substituindo na 2.ª: −3 + b + 1 = 0, logo b = 2. A 3.ª é uma entrada da diagonal — tem de dar 1, e dá: −2 + 2 + 1 = 1 ✓. Resposta: a + b = 1.

Atalho importante: se uma matriz é simétrica (A = Aᵀ), então aᵢⱼ = aⱼᵢ — igualam-se as entradas "espelhadas". É o que se usa no ex. 6 da FICHA1.

x  1
2  y

1
1

3
4

Nos slides: 8 (igualdade). Treino: refazer o ex. 11 do zero e FICHA1 ex. 6.

4) Matriz inversa (pela definição)

A quadrada é invertível (regular, não singular) se existir uma matriz B com

A·B = Iₙ = B·A

e escreve-se B = A⁻¹. Se existir, a inversa é única. Se não existir, A diz-se singular.

Exemplo 9 (slide 25): confirmar que B é a inversa de A — multiplica-se e vê-se que dá I₂:

 2  −5
−1   3

3  5
1  2

Método pela definição (slide 29, Exemplo 10): encontrar A⁻¹ da matriz A:

2  0
1  1

a  b
c  d

Resolve-se A·A⁻¹ = I₂:

2  0
1  1

a  b
c  d

2a   2b
a+c  b+d

1  0
0  1

Entrada a entrada (linha × coluna), igualando a I₂:

Solução:

 1/2   0
−1/2   1

Verificação: A·A⁻¹ = I₂ e A⁻¹·A = I₂ ✓ (podes refazer a multiplicação para confirmar).

Dois nomes dos slides (26): uma matriz é ortogonal se A⁻¹ = Aᵀ; e A e B dizem-se semelhantes se existir uma matriz invertível P tal que A = P⁻¹BP.

1  1  0
0  1  1
0  0  1

2  0
1  1

 1/2   0
−1/2   1

Nos slides: 24–29. Treino: FICHA1 ex. 9, 10 e 12 (inversa pela definição — o 12.1 é um bom primeiro) e o desafio do ex. 15 acima.

5) ∼ e condensação — [A|Iₙ] ∼ [Iₙ|A⁻¹] (o grande pendente)

∼ não é igualdade! Escreve-se A ∼ B quando B se obtém de A com um número finito de operações elementares. É o "verbo" das transformações — as operações escrevem-se por baixo do ∼.

Exemplo pequeno (Ex. 8 dos slides) — uma transformação por passo:

0   2
2  −6
3   4

2  −6
0   2
3   4

2  −6
0   1
3   4

Ou seja, A ∼ B — a última matriz é a B do enunciado.

O método da condensação

[A | Iₙ] ∼ [Iₙ | A⁻¹]

• Junta-se A à identidade, formando a matriz ampliada [A | Iₙ];
• Cada operação aplica-se à linha inteira — lado esquerdo E lado direito;
• O objetivo é transformar o bloco da esquerda na identidade;
• Quando se consegue, o bloco da direita é A⁻¹. No fim, verificar: A·A⁻¹ = Iₙ.

Exemplo guiado completo — calcular a inversa da matriz A:

1  2
3  4

1  2 |  1  0
3  4 |  0  1

1   2 |  1  0
0  −2 | −3  1

1  2 |   1     0
0  1 |  3/2  −1/2

1  0 | −2    1
0  1 |  3/2  −1/2

Resultado:

−2    1
 3/2  −1/2

Verificação: A·A⁻¹ = I₂ ✓ (refaz a multiplicação para confirmar).

O exemplo da aula (Exemplo 11, slides 30–31): a mesma técnica numa matriz 3×3 — vai com calma, um passo de cada vez:

 1  0  1
 2  2  2
−1  0  0

 1  0  1 |  1   0   0
 2  2  2 |  0   1   0
−1  0  0 |  0   0   1

 1  0  1 |  1   0   0
 0  2  0 | −2   1   0
−1  0  0 |  0   0   1

 1  0  1 |  1   0   0
 0  2  0 | −2   1   0
 0  0  1 |  1   0   1

 1  0  1 |  1    0   0
 0  1  0 | −1   1/2  0
 0  0  1 |  1    0   1

 1  0  0 |  0    0  −1
 0  1  0 | −1   1/2  0
 0  0  1 |  1    0   1

Resultado:

 0    0  −1
−1   1/2  0
 1    0   1

Verificação (uma entrada à escolha): (2,2) de A·A⁻¹ — linha 2 de A · coluna 2 de A⁻¹: (2, 2, 2)·(0, 1/2, 0) = 1 ✓

Se numa linha do bloco esquerdo aparecerem só zeros, A é singular (não tem inversa). Exemplo com a matriz B:

1  2
2  4

1  2 |  1  0
2  4 |  0  1

1  2 |  1  0
0  0 | −2  1

Linha nula à esquerda → não existe inversa.

3  1
2  1

3  1 |  1  0
2  1 |  0  1

1  1/3 |  1/3  0
2   1  |   0   1

1  1/3 |  1/3  0
0  1/3 | −2/3  1

1  1/3 | 1/3  0
0   1  | −2   3

1  0 |  1  −1
0  1 | −2   3

 1  −1
−2   3

Nos slides: 22–23 (operações e ∼) e 30–31 (método, Exemplo 11). Treino: FICHA1 ex. 13.1 e 13.2 (solução na ficha, entre parênteses); Tarefa 1 (ex. 1.2 e 2.1).

6) Equações matriciais — resolver em ordem à incógnita (matéria de 16/10)

Uma equação matricial é uma equação cuja incógnita é uma matriz (X, E, …). Resolver = isolar essa matriz — é uma equação de 1.º grau, mas com duas regras novas. Apoia-se na secção 2 (produto) e na secção 4 (inversa).

A tabela de referência (como isolar)

Na prática: 1) vê quais as matrizes agarradas à incógnita e de que lado estão; 2) multiplica os dois lados pela inversa, do mesmo lado, até a incógnita ficar sozinha; 3) no fim, verifica substituindo na equação (quando as matrizes são conhecidas).

Exemplo 12 (slide 33) — é também o ex. 16.2 da ficha

Resolver A⁻¹·X·B = I:

Com as matrizes do enunciado (as mesmas do ex. 16), o resultado é o do ex. 16.2:

−1    1/2
−7   11/2

O truque do ex. 14: multiplicar por E à esquerda = mexer nas linhas de A

Regra geral (confere nos exemplos de baixo): a linha i de E·A é a "receita" (linha i de E) aplicada às linhas de A:

Dois casos do ex. 14 (a "receita" de E lê-se linha a linha):

Exemplo pequeno com a troca:

0  1
1  0

1  2
3  4

3  4
1  2

O ex. 14 da FICHA1 — resolvido dos dois jeitos

 3   4   1
 2  −7  −1
 8   1   5

 8   1   5
 2  −7  −1
 3   4   1

 3   4   1
 2  −7  −1
 2  −7   3

(o D não é usado em nenhuma alínea.) Receita rápida: compara as linhas do resultado com as de A, descobre a operação, e aplica a mesma operação ao I₃ — dá logo o E.

14.1 E·A = B — B tem as linhas de A por ordem 3, 2, 1 → é a troca l₁↔l₃:

0  0  1
0  1  0
1  0  0

14.2 E·B = A — o mesmo, ao contrário: trocar duas vezes volta ao início (a troca é a sua própria inversa) → é a mesma E do 14.1.

14.3 E·A = C — só a linha 3 muda: (2, −7, 3) = (8, 1, 5) − 2·(3, 4, 1) → l₃ ← l₃ − 2l₁:

1   0   0
0   1   0
−2   0   1

14.4 E·C = A — também só a linha 3: (8, 1, 5) = (2, −7, 3) + 2·(3, 4, 1) → l₃ ← l₃ + 2l₁:

1  0  0
0  1  0
2  0  1

1  0
1  1

3  4
5  6

 3   4
11  14

Nos slides: 32–33 (equações matriciais); 13 e 19 (o produto não comuta); 21 e 27–28 (propriedades da transposta e da inversa). Treino: ex. 14 (resolvido acima, dos dois jeitos); ex. 16.1–16.5 e 17 na oficina (grupos F e G), com os passos todos.

7) Oficina de treino — 17 exercícios com solução passo a passo

Como usar: papel primeiro — resolve como se fosse na ficha; só depois abre a solução e compara passo a passo. Algo falhou? Escreve ao lado qual foi o passo, e repete o exercício amanhã.

Os exercícios 🎯 são da FICHA1 (a ficha também tem as soluções, entre parênteses; aqui ficam os passos todos). Os outros dois são treino extra, com os mesmos padrões.

Grupos: A · Multiplicação (números) · B · Multiplicação com incógnitas · C · Igualdade → equações · D · Inversa pela definição · E · Condensação · F · Equações matriciais · G · Desafios

A) Multiplicação de matrizes (aquecimento)

3
5
7

213   510   128

 3
−1
−1

1   −2   1

 3   −6   3
 5  −10   5
 7  −14   7

1   2   3
0  −1   1

2   0
1  −1
3   2

13   4
 2   3

2   4    6
1   3    2
3   4   11

B) Multiplicação com incógnitas

a   b   c

1   2   1
0   1   2
0   0   1

0   0   1

x   y

2  1
1  3

4   7

C) Igualdade de matrizes → equações

1   a + b   a − b
3     2     c + a
−1    2      5

a + 4    x    y
  a    b + 2   z
  b      c   2c − 8

D) Inversa pela definição

3  5
1  2

 2  −5
−1   3

1   2
3  −1

1/7   2/7
3/7  −1/7

E) Condensação: [A | Iₙ] ∼ [Iₙ | A⁻¹]

1  4
2  7

1  4 |  1  0
2  7 |  0  1

1   4 |  1  0
0  −1 | −2  1

1  4 |  1   0
0  1 |  2  −1

1  0 | −7   4
0  1 |  2  −1

−7   4
 2  −1

1  0  1
0  1  1
1  1  0

1  0  1 |  1   0   0
0  1  1 |  0   1   0
1  1  0 |  0   0   1

1  0   1 |  1   0   0
0  1   1 |  0   1   0
0  1  −1 | −1   0   1

1  0   1 |  1    0    0
0  1   1 |  0    1    0
0  0  −2 | −1   −1    1

1  0   1 |  1    0     0
0  1   1 |  0    1     0
0  0   1 |  1/2  1/2  −1/2

1  0   0 |  1/2  −1/2   1/2
0  1   1 |  0     1      0
0  0   1 |  1/2   1/2   −1/2

1  0  0 |  1/2  −1/2   1/2
0  1  0 | −1/2   1/2   1/2
0  0  1 |  1/2   1/2  −1/2

 1/2  −1/2   1/2
−1/2   1/2   1/2
 1/2   1/2  −1/2

F) Equações matriciais

Nos exercícios do ex. 16, as matrizes são:

0  −1
4   1

1  3
2  4

3  −1
0   2

4   5/2
0  −3/2

1  3 | 1  0
2  4 | 0  1

1   3 |  1  0
0  −2 | −2  1

1  3 |  1    0
0  1 |  1  −1/2

1  0 | −2   3/2
0  1 |  1  −1/2

−1    1/2
−7   11/2

−8   11/2
−5    9/2

1  2 | 1  0
6  5 | 0  1

1   2 |  1   0
0  −7 | −6   1

1  2 |  1     0
0  1 |  6/7  −1/7

1  0 | −5/7   2/7
0  1 |  6/7  −1/7

−15/7    9/7
 18/7   −8/7

G) Desafios (com as propriedades todas)

Estes usam as propriedades que trocam a ordem — (M·N)ᵀ = NᵀMᵀ (secção 1) e (M·N)⁻¹ = N⁻¹M⁻¹ (secção 4). Se ainda não estiverem automáticas, salta para outro dia.

Fontes: FICHA1 ex. 4, 5.1, 6, 8, 10, 12.1, 13.1, 13.2, 16.1–16.5, 17.1–17.2 (com os passos todos aqui). A2 e B2 são extras no mesmo estilo. Queres mais volume? FICHA1 ex. 3, 7, 9, 11, 13.3 (já têm solução na ficha) e Tarefa 1.

8) Autoteste geral + os meus erros típicos

Perguntas rápidas de revisão — às da sessão de 14/10 juntaram-se 2 das equações matriciais (7 e 8):

1  2
3  4

0  −1
4   1

8   1
16  1

a  1
2  b

2  0
1  3

1  0
2  1

9) Determinantes — calcular, poupar contas e inverter pela adjunta

O determinante é um número que se calcula a partir de uma matriz quadrada. No curso serve para duas coisas: (1) decidir se há inversa — det(A) ≠ 0 ⇔ A é invertível — e (2) calcular a inversa pela matriz adjunta (slides 58–59). Escreve-se det(A) ou |A|.

Nota: a ficha foi alargada — a versão nova tem 11 páginas e vai até ao ex. 44 (os ex. 1–20 são iguais aos da versão antiga). Os ex. 21–44 são todos de determinantes, com as soluções entre parênteses como sempre.

Sarrus, passo a passo (ex. 21.3 da ficha nova)

 1   1  −3
 1   0   1
−1   2   1

Menor complementar e complemento algébrico (slides 47–50)

Para o Teorema de Laplace preciso de dois objetos. O menor complementar Mᵢⱼ é o determinante que fica depois de apagar a linha i e a coluna j. O complemento algébrico (ou cofator) é esse menor com o sinal certo:

Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ

⚠️ Nos slides o cofator escreve-se Aᵢⱼ (o mesmo A da matriz, com dois índices) — em alguns livros aparece como Cᵢⱼ. Os sinais seguem o tabuleiro de xadrez (o canto (1,1) é +):

Laplace numa 4×4 — a coluna com um só número (ex. 22.1)

18  23  34   2
 5   2   1   0
 0   0   3   0
 1   2  −1   0

As propriedades que poupam contas (slides 55–57)

Inversa pela matriz adjunta (slides 58–59)

Exemplo 2×2 — a mesma matriz que se condensou na secção 5 (os dois métodos têm de dar o mesmo):

1  2
3  4

O resultado é igual ao da condensação ✓ — usa o método que te der mais confiança e confirma sempre com A·A⁻¹ = I.

Treino — exercícios novos da ficha (21–44) com os passos

Papel primeiro! A ficha tem as soluções entre parênteses — usa-as só para conferir; estas caixas servem para ver os passos quando encravares. Ordem: T1–T3 cálculo direto · T4–T6 propriedades · T7 (in)vertibilidade · T8–T9 inversa pela adjunta.

a−3   5
−3   a−2

a−2   1
−5   a+4

 1   0   0
 0  −1   0
 0   0  −1

 0   0   0   0
 1   2   0   0
 0   4   3   0
 1   2   3   8

1  2   7  −3
0  1  −4   1
0  0   2   7
0  0   0   3

 3  −6   9
−2   7  −2
 0   1   5

 2   5   5
−1  −1   0
 2   4   3

Nos slides: 43–57 (determinantes) e 58–59 (inversa por determinantes). Treino: FICHA1 nova (11 páginas, ex. 21–44), toda com solução entre parênteses — aqui ficaram os passos dos ex. 21.3, 22.1, 23.1, 24.1, 25, 27.1, 28, 29, 31.3–31.4, 32, 33.2, 34, 35, 37.1 e 43.4. Ainda não estão no manual: característica (ex. 18–20) e SEL.